《越野车辆动力学》系列文章：越野车的性能——影响越野车性能的参数 已发布
3.2 可变形路面上的车辆动力学
可变形路面上的车辆动力学与土壤－车轮相互作用的性质有着密切关联， 因此， 必须明确车轮－路面规范， 以建立相应的模型来研究在可变形路面上行驶的车辆的性能。车辆地面力学的复杂性在于表面变形，而铺装道路由于其表面变形量为零， 故忽略了表面变形所引起的复杂性。
以下是基于轮胎与地面相互作用的四种策略：1) 可变形的地面（软的土壤）与柔性轮胎。2)硬质表面（压实的土壤）与柔性轮胎。3)可变形的地面（软的土壤）与刚性轮胎（过度充气的轮胎或者金属圆盘）。4)硬质表面（压实的土壤）与刚性轮胎（过度充气的轮胎或者金属圆盘）。对硬质表面上任何问题的研究都可以通过应用路面上的车辆动力学来解决， 因为硬质表面问题是路面变形的简化问题， 它忽略了地面的沉降， 因此， 本书将着重于研究柔性轮胎和刚性轮胎与软地面之间的相互作用。
刚性轮胎和柔软土壤之间的相互作用一直是动力学领域的研究热点， 有时候用一个刚性的轮子来表示轮胎可能会更好， 因为刚性轮具有不可变形的结构（例如过度充气的轮胎），特别是当轮胎在柔软地形上行驶时， 与轮胎的变形相比， 地面的变形更为显著。图3.14是刚性车轮和可变形土壤之间各种变量的相互关系。
作用在车轮上的垂直支撑力可以通过垂向压力来进行计算：
然后通过对整个接触区域上的剪切应力进行积分， 来计算车轮底部的横向剪应力所产生的作用在车轮上的力， 如等式(3.56)所示， 假设在整个过程中接触区域的宽度保持不变。
从等式(3.56)可以得出， 接触区域上从进入角开始到后角， 剪应力随着土壤纵向剪切位移的增加而线性地增加。整体剪切 变形的大小可以通过下式进行计算：
地面变形遵循压力沉降原理， 研究的是地面的承载能力， 承载力理论来源于可塑性理论， 为车辆机动性的发展奠定了基础， 垂向负载通过驱动轮作用在地面上导致了地面下沉。计算出土壤表面和车轮上的径向应力， 进而得到车轮的作用力和动力学特性， 第一步， 利用半经验方法对接触平面上的应力分布进行预测， 在旋转的轮胎和土壤表面之间的接触面上会产生正应力和剪应力， 根据Wong的理论， 垂向应力的分布为， 在接触区域的开始处为零， 并在进入角和退出角之间的某个位置达到最大值， 如图3. 16所示。在此基础上， 刚性车轮下径向应力分布的最大值点并不是在车轮中心的正下方， 而更可能出现在车轮的前侧， 并随着滑移的增加而进一步向车轮前侧移动。Bekker的方法假定车轮比土壤坚硬得多， 因此车轮不会变形， 而是会陷入土壤中， 他通过对车轮－土壤界面的正应力和剪应力进行积分来确定作用在车轮上的力， 垂向应力、 切向应力和侧向应力沿着车轮界面分布， 其中垂向应力可以用Bekker提出的压力沉降方程计算得出。 
当沉降量较小时， 式中的b表示受载区域中较小的尺寸， 通常是矩形接触区域的接触宽度， 接触长度可以在方程中进行假设， 变形参数丸和K中 是常数， 通常是通过沉降板试验得出。值得注意的是， 使用长宽比大的矩形板和使用半径等于矩形板宽度的圆形板进行压力沉降参数试验， 得到的结果几乎是一样的， 因此圆形板是一个更好的选择， 因为在相同的接触压力下， 圆形板得到压力沉降参数所需要的载荷更低。
但是这个方程有两个缺点， 即不能给出一个统一的方程来说明不同形状的平板， 而且也没有考虑到土壤的体积密度， 因此人们提出了Bekker压力－沉降方程的改进版本， 也叫Bekker- Reece方程， 如下所示：
由于方程中要求车轮的半径是恒定值，因此这些方程仅仅适用于刚性车轮，而事实上应力场是不均匀分布的，但剪应力作为正应力的函数却是呈线性分布的，这是个众所周知的理论，此外，由于对径向应力和切向应力的估算非常复杂，因此， 上式中的积分均需要通过数值积分方法进行计算。
对应力分布进行积分得到作用在车轮上的力和转矩。假定一个圆柱表面，则力和转矩可以被表示为
在越野地形中，作用在车轮上的侧向力可以被分解成两部分。第一部分是接触平面上侧向平均剪力所引起的剪应力，第二部分是作用在嵌入式车轮侧面的推土效应。
Chan提出的轮胎变形和土壤沉降法可以更好地描述轮胎与地形的柔性相互作用，接触面的几何形状是限制轮胎变形的一个重要因素，并且在一定程度上受到车轮法向载荷的影响。在给定车轮角度时，车轮载荷作用下变形和未变形的车轮半径如图3. 17所示。
显然，其接触面的长度和宽度以及轮胎的变形取决于各种轮胎参数，例如，所施加的垂向载荷、轮胎刚度和轮胎结构，在此模型中 ，假设这些参数均是恒定值，并对纵向接触应力、横向接触应力和垂向接触应力建立综合数学模型 ，在这种情况下，推导出
在进入角和退出角之间这个范围内土壤沉降与轮胎变形之间 的函数关系如下：
3. 2. 1 柔性轮胎的纵向滑移和剪切位移
为了表征纵向力，必须正确识别剪切位移和纵向滑移，而剪切变形模型的研究是以接触面形状的确定为前提的。通过对剪切速度积分，可以得到任意角度0处土壤的剪切变形；通过对轮胎与地面接触的整个区域上的界面速度进行积分，可以计算出剪切位移。
3. 2. 2 柔性轮胎的应力和力
假设在沉降过程中轮胎的宽度保持不变，可以近似地估算出牵引杆拉力和车轮载荷等牵引参数，再根据前后滑移线的交点来确定出施加在车轮上最大径向力的位 置，但是首先需要确定Chan提出的应力。
刚性车轮和柔性车轮非常容易沿着接触区域形成不同的径向（垂向）应力，此外，轮胎的结构和轮胎变形量的限制会极大地影响车轮施加在土壤剖面上的正应力范围，获得最大径向应力值的一种简化方法是将轮胎放置在刚性表面上，并对接触应力进行量化，此时，接触应力与接触压力相等。值得注意的是，胎体的刚度和轮胎的充气压力会影响到总的接触压力， 并且在接触压力和轮胎充气压力之间存在着一个线性关系。极限压力必须与轮胎变形段的刚度相等， 可以表示如下：
式中，e是加载点的刚度；P;是轮胎的充气压力；a是加载点刚度相对于轮胎充气压力的变化率。
随着车轮载荷的增加， 轮胎的正应力也会增加， 轮胎的胎面变形和正应力取决于它的刚度特性， 考虑到最大的变形总 是发生在轮胎垂向应力的最大处， 因此对车轮与地面接触面上的最大应力进行量化， 故作用在轮胎上的垂向 （径向）应力可以被表示如下：
再考虑到变形时的半径， 则轮胎的纵向应力可以用下式来表达：
对轮胎和地面的接触面上的应力进行积分， 可以得到车轮的垂向载荷， 如果轮胎与地面的接触宽度保持不变， 则车轮进入角与退出角之间作用在车轮上载荷的迭代过程如下式所示：
在确定了车轮的载荷参数之后， 就可以开始计算纵向力了， 将车轮与地面接触区域上的垂向和纵向应力进行积分， 根据准静态平衡条件就可以得到纵向力。通过这种方法计算出的纵向力可以表示类似的基于牵引杆的刚性车轮牵引杆拉力参数。
3. 2. 3 柔性轮胎的横向力
在轮胎 －地面相互作用模型中得到的剪切力取决于轮胎刚度随滑移角的变化，而在公路行驶模式下， 预测轮胎刚度的时候， 它会随着非零滑移角的减小而减小，因此轮胎的有效变形会随着滑移角的增加而减小。
横向的剪切位移为计算施加在车轮上的横向力建立了基础， 且可以通过从车轮角度对车轮的横向速度进行积分而得到：
在确定了车轮的横向剪切位移后，作用在车轮上的剪应力定义如下：
假定接触宽度保持不变，在接触区域上对剪应力进行积分，得到横向力如下：
本文摘编自《越野车辆动力学——分析、建模与优化》，机械工业出版社出版，经出版方授权发布。
《越野车辆动力学——分析、建模与优化》基于机械概念和理论给出了越野车辆系统建模、数学描述和性能优化分析等问题的相关方法，主要目的是较为准确地概述越野汽车的动力学系统。本书首先建立了与车辆的行驶参数能够很好地吻合的数学模型，同时还介绍了高效地对在崎岖不平路面上行驶的车辆进行建模以获得车辆很好性能的方法，以及更快地针对越野车辆进行设计、开发、分析的基本原理。本书有助于读者开发计算机程序，并使用一些最优选的人工智能方法来对越野车辆动力学进行分析、建模和优化。读者可以根据需要选择学习。本书可作为高等院校机械工程、车辆工程、交通运输及相关专业的本科生、研究生教材，也可供对越野车辆感兴趣的研究人员和工程技术人员阅读参考。
来源：付志军 译
