Magic Formula轮胎模型是一种基于实测数据的半经验模型，在目前应用比较广泛的各种轮胎模型中，该模型最为精确。将该模型应用于车辆状态参数观测领域，可以提供更为精确的信息，因此本文采用Magic Formula轮胎模型(简称为Magic Formula模型)进行轮胎力观测。为了提高运算速度，简化计算流程，需要对MagicFormula模型进行简化基本假设包括：路面附着系数已知、轮胎滚动半径已知、回正力矩可以忽略、车轮外倾角可以忽略。基于以上的假设，将Magic Formula模型简化成如下的形式：
式中Y(x)可以是侧向力，也可以是纵向力，自变量x可以在不同的情况下分别表示轮胎的侧偏角或纵向滑移率，式中的系数B、C、D依次由轮胎的垂直载荷和外倾角来确定。图1和2为利用该模型所绘制的轮胎特性曲线。
图1 魔术公式轮胎纵向力示例
图2 魔术公式轮胎侧向力示例
Magic Formula 模型的计算流程如下所示：
1)纯侧滑或纯滑转情况下，纵向力和侧向力解耦，计算名义纵向力Fx0和名义侧向力Fy0如下所示：
其中，λ和α分别表示轮胎的纵向滑移率和侧偏角。
2)侧滑和滑转同时发生时，计算侧滑对纵向力的影响因数Gx以及滑转对侧向力的影响因数Gy：
3)侧滑和滑转同时发生时，计算轮胎的纵向力Fx和准静态侧向力
前文所提的简化Magic Formula模型只能够适用于准静态工况。为了较好地逼近轮胎的非线性特性，本文在进行侧向力的估计时引入了动态Magic Formula模型，通过模型的非线性化来实现更为准确的状态参数估计，如下式所示。
其中，松弛时间常数为
其中，
是利用式(1)得到的准静态侧向力，Vx是轮心纵向速度，轮胎初始侧偏角度刚度是
轮胎初始侧向位移刚度是
式(2)适用于在车速变化情况下对轮胎侧向力进行描述，动态行驶工况下的轮胎松弛长度是建立轮胎力所需的近似长度，该松弛长度等于车辆速度乘以松弛时间常数
因此，基于动态魔术公式（2），设计状态观测器进而可以实现对轮胎侧向力进行估计。
来源：智能运载装备研究所
