让我们看看能否解释清楚这个问题。
作者：Peter Avitabile 翻译：倪昊、焦吉祥（德国m+p国际公司）
到目前为止，模态参数估计（通常称为曲线拟合）对于大多数人来说可能是试验模态分析中最难以理解的部分。我知道我可以写出所有的公式来解释这个问题。但这会非常复杂。我不但必须要写出关于模态参数估计过程的所有公式，而且我也必须指出这些公式建立了留数与模态振型之间的关系。另一方面，留数当然是另一个抽象的概念（我多么希望人们以前就称它为模态振型而不是留数，因为这只会搞得大家一头雾水）。
在上篇文章中（如何理解模态分析中的曲线拟合？），我们曾讨论了曲线拟合模型，以及用于参数估计的基本公式，其中一种形式表示如下：
现在，矩阵[A]中的各项是从曲线拟合过程中得到的留数。我们同时从公式的分母中得到极点、频率和阻尼。现在，可以证明这些留数与模态振型有关。推导过程不计，我们可以得到下式（将某些项展开）：
如果我们观察矩阵的每一列元素，可以看出各列元素中包含模态振型，带有某些常数倍因子。同时也可以看出，由于互易性，各行元素也包含模态振型信息。如果我们观察某一列，例如第一列，那么，我们可以看到：
因此，留数无非是模态振型乘以一个常数倍因子——模态振型在参考点位置的数值u，同时乘以归一常数q【归一常数q允许模态振型可以用不同的归一常数来表示（如单位模态质量，单位长度，等等）】。
可能有些公式你并不能完全领会。解释这个概念的更好方法是借助于一些简单的图形。让我们回过头来看看先前讨论过的那个简单平板，同时，也能很简单地解释我们是如何从测量结果中得到模态振型的（这样，你或许可以领会数学可以为我们做什么？）。
现在，我们在平板上进行试验，共得到6条频响曲线——在4个角点以及2个中点位置。依靠这些测量结果，我们希望能够确定前两阶模态的振型。现在，我们可以观察频响函数的对数幅值，但这不是很有用，因为图中所有的峰值都是正的。
频响函数的虚部是一个包含更多信息的曲线。它不但显示了幅值，而且更重要的是它能表明响应的方向。不深究数学概念，我们仅需知道FRF的虚部的峰值幅度与留数直接相关（同时，留数与模态振型相关）。这个近似的公式如下所示：
通常我们称这种非常简单的确定模态振型的方法为峰值拾取法，因为我们拾取了FRF的峰值。现在，针对每个测点位置的各个测量结果，我们观察某些峰值。（在所有图形中，幅值的刻度范围从-1到+1，短划线表示1/2。另外，未显示频率轴。）现在我们首先主要研究第一阶模态，然后再考察第二阶模态。
观察第一阶模态的测点1的FRF，注意到其幅值为0.5，并且值为负。如果我们观察测点2，则其幅值也为0.5，并且为负。这意味着第一阶模态中，测点1和测点2按照相同的幅度、相同的方向运动。如果我们观察测点5和测点6，我们可以看到与测点1和测点2相同的情况。这样一来，我们可以看出测点1、2、5、6都是按照相同的幅度，相同的方向运动。
此处，要说明的非常重要的一点是，如果我仅仅测量了该4个点，那么对于我来说，平板的模态振型将是刚体模态（所有4个点按照相同的幅度一起运动）。用于描述系统模态振型的测点太少时，这会是个常见的问题。
现在，观察第一阶模态的测点3，注意到其幅值为0.5，且为正。测点4也是如此。因此，测点3和测点4具有相同的幅值，并且按照相同的方向一起运动。但是我们也注意到，测点3和测点4是按照与其它测点的相反的方向运动。现在，尽管我们测量的点不超过6个，但我们开始看到了平板振型呈现出弯曲的特征形式。如果我们测量了更多的点，那么我们将会看到一个更加明确的模态振型。
现在，我们观察第二阶模态，我们将看到的是，测点1和2具有相同的幅度，但是现在它们按相反的方向运动。对于测点5和6，情况也是如此。但是，我们也注意到，测点1和5是按照相反的方向运动；测点2和6同样如此。我们可以看出，对于第二阶模态，存在某种扭曲或扭转变形。如果我们观察测点3和4，我们注意到这些点具有零值。这是因为测点3和4是平板扭转模态的节点。同样，增加更多测点可以更好地确定振型。
所以现在我们可以看出，对于每阶模态的峰值，FRF虚部的峰值与其模态振型直接相关。我们在此省略数学推理过程，只要明白留数是从曲线拟合过程中提取出来的，并且留数与平板的模态振型直接相关即可。为了能简洁明了，我已经按照图形方式说明了这一点。
希望这个解释有助于解开我们是如何从频响函数中得到模态振型的这个谜题。好好思考一下这个问题。如果您有关于模态分析的任何其它问题，欢迎垂询。
来源：德国M十P国际公司北京代表处
