式中，Y(x) 是轮胎的侧向力 Ftyij 或纵向力 Ftxij ；x为轮胎侧偏角ij 或轮胎滑动率λij ；B、C、D、E 是轮胎特性曲线中的拟合参数，分别为刚度因子、曲线形状因子、曲线峰值因子和曲线曲率因子，其计算方式可见文献[29]。
各轮的轮胎滑动率计算为
式中，uij 为各轮的轮心速度；wij为各轮的角速度；r为车轮的滚动半径。
各轮的轮心速度可以表示为
各轮的轮胎侧偏角可以表示为
1.2 轮边转向系统模型
本文所研究对象为四轮独立转向分布式驱动电动汽车，当单轮发生转向故障后的失效机理与常规转向系统有很大不同，需要对轮边转向系统建立数学模型来描述其动力学特性。所建转向系统驱动电机的动力学方程为
式中， m J 为电机转子的转动惯量；m 为电机转子转动的角度；Bm 为电机黏滞摩擦因数；Twm 为车轮作用在转向电机上的转矩；Tact 为转向电机输出的电磁转矩。
车轮转向动力学方程为
式中， Jw为车轮绕 z 轴转动惯量；δw为车轮转角；Bw为车轮黏滞摩擦因数；TF 为库仑摩擦力矩；Te 为回正力矩；Tmw 为转向电机传送给车轮的转矩。
k 为减速器的减速比，根据传动关系可得
根据式(8)、式(9)和式(10)，可得四轮独立转向分布式驱动电动汽车单个车轮的完整转向模型为
本文中当转向电机完全失效时转向机构失去对车轮的约束，该车轮相当于万向轮，电机的输出转矩为零，由库仑摩擦力矩TF 及回正力矩Te 决定其转角，此时转向失效车轮的转向模型为
库仑摩擦力矩TF 根据车轮转角的角加速度方向可以计算为
式中，Cs 为库仑摩擦常数。
文献[30]表明，当车辆高速行驶时，即使车轮转动较小的角度也可以产生较大的侧向力，回正力矩主要由侧向力产生。本文所研究的工况是高速下的急转弯工况并采用转向执行机构上置的 Protean360+角模块系统结构[31]，其主销内倾角、主销后倾角以及主销偏移距均为零，因此将主要考虑由轮胎侧向力引起的回正力矩
式中， mt 为轮胎机械拖距；p t 为轮胎气胎拖距。
在车轮转向过程中，气胎拖距随着轮胎侧偏角的增大而减小至零，常将其拟合为抛物线，但在实际中并不准确，本文采用文献[32]中所提到的简单力学模型
式中，αij为轮胎侧偏角；Cα为轮胎侧偏刚度；tp0为初始轮胎气胎拖距；αsij 为轮胎失去侧向抓地时的侧偏角，即轮胎极限侧偏角。
2 容错协同控制
为了解决四轮独立转向分布式驱动电动汽车各执行机构之间的强耦合作用，当转向系统执行机构驱动电机失效后通过控制分配其余正常执行机构实现控制重构，来保持车辆正常的行驶状态和方向，采用分层最优控制分配方法来实现稳定性控制，控制架构如图 2 所示。
图 2 容错控制架构
上层以附加后轮转角的单轨模型作为参考模型，根据轮胎侧偏状态确定是否使用稳态转向的转向方式，以斜向行驶作为备选转向方式，通过参数自适应的递归非奇异终端滑模控制实现车身运动控制，求出所需的合力和合力矩；下层以最小化轮胎负荷率作为优化目标对上层所求得的合力以及合力矩进行优化分配，当执行机构失效后，调整约束条件，并根据车辆状态确定执行机构的介入和退出，求解出单个轮胎所需的纵向力和侧向力，转化为各轮的驱动/制动力矩和车轮转角。
2.1 上层车身运动控制器设计
2.1.1 参考模型
来源：博创汽车科技
